Теория перевода чисел между системами счисления

Перевод чисел между системами счисления осуществляется с использованием основания системы:

• Десятичная система (основание 10).
• Двоичная система (основание 2).
• Восьмеричная система (основание 8).
• Шестнадцатеричная система (основание 16).

Методы перевода:

1. Из десятичной системы в другую:

   Для перевода числа из десятичной системы в другую, нужно последовательно делить число на основание новой системы счисления до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления записываются в обратном порядке.

   Например, чтобы перевести \( \text{Число}_{10} \) в систему с основанием \( n \), выполняется следующая операция: \[ \text{Число}_{\text{другой системы}} = (\text{остаток от деления на } n)(\text{остаток от деления на } n)\dots \]

2. Из другой системы в десятичную:

   Для перевода числа из другой системы счисления в десятичную, каждый разряд числа умножается на соответствующую степень основания системы, а результаты суммируются.

   Например, чтобы перевести \( \text{Число}_{n} \) в десятичную систему, используется формула: \[ \text{Число}_{10} = d_k \cdot n^k + d_{k-1} \cdot n^{k-1} + \dots + d_1 \cdot n^1 + d_0 \cdot n^0 \] где \( d_i \) — цифры числа, а \( n \) — основание системы счисления.

Пример: Переведем число \( 10 \) из десятичной системы в другие:

• \( 10_{10} = 1010_2 \) (двоичная).
• \( 10_{10} = 12_8 \) (восьмеричная).
• \( 10_{10} = A_{16} \) (шестнадцатеричная).

Обратный перевод: Возьмем число \( 1010_2 \) и переведем его обратно в десятичную систему:

\[ 1010_2 = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10_{10} \]

Еще пример: Переведем число \( 12_8 \) в десятичную систему:

\[ 12_8 = 1 \cdot 8^1 + 2 \cdot 8^0 = 8 + 2 = 10_{10} \]

И еще один пример: Переведем число \( A_{16} \) в десятичную систему:

\[ A_{16} = 10 \cdot 16^0 = 10_{10} \]