Как решать системы уравнений с помощью матриц?

Система линейных уравнений может быть решена с использованием матриц. Основные методы:

• Метод Крамера: Используется для нахождения решения через определители матриц.
• Метод обратной матрицы: Решение находится путем умножения обратной матрицы на вектор свободных членов.

Шаги решения:

1. Запишите систему уравнений в матричной форме: \(AX = B\), где:
   • \(A\) — матрица коэффициентов,
   • \(X\) — вектор неизвестных,
   • \(B\) — вектор свободных членов.
2. Найдите определитель матрицы \(A\). Если определитель равен нулю, система не имеет единственного решения.
3. Используйте метод Крамера или метод обратной матрицы для нахождения решения.
4. Пример для матрицы 2x2: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - y = 1 \end{cases} \]
5. Матрица коэффициентов: \[ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \]
6. Вектор свободных членов: \[ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} \]
7. Определитель матрицы \(A\): \[ \text{det}(A) = (2 \cdot -1) - (3 \cdot 4) = -2 - 12 = -14 \]
8. Находим определители для \(x\) и \(y\): \[ \text{det}(A_x) = \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (5 \cdot -1) - (3 \cdot 1) = -5 - 3 = -8 \] \[ \text{det}(A_y) = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1) - (5 \cdot 4) = 2 - 20 = -18 \]
9. Решение: \[ x = \frac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)} = \frac{-8}{-14} = \frac{4}{7} \] \[ y = \frac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)} = \frac{-18}{-14} = \frac{9}{7} \]
10. Ответ: \( x = \frac{4}{7}, y = \frac{9}{7} \).